3.357 \(\int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx\)

Optimal. Leaf size=140 \[ \frac{\left (a^2 d+b^2 c\right )^2 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}-\frac{4 a d \left (a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{2 d \left (3 a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}-\frac{4 a d^2 (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac{d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

[Out]

((b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (4*a*d*(b^2*c + a^2*d)*(a
+ b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + (2*d*(b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(
3 + n)) - (4*a*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b
^5*(5 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.150135, antiderivative size = 140, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.059 \[ \frac{\left (a^2 d+b^2 c\right )^2 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}-\frac{4 a d \left (a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{2 d \left (3 a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}-\frac{4 a d^2 (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac{d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2,x]

[Out]

((b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (4*a*d*(b^2*c + a^2*d)*(a
+ b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + (2*d*(b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(
3 + n)) - (4*a*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b
^5*(5 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 35.8763, size = 128, normalized size = 0.91 \[ - \frac{4 a d^{2} \left (a + b x\right )^{n + 4}}{b^{5} \left (n + 4\right )} - \frac{4 a d \left (a + b x\right )^{n + 2} \left (a^{2} d + b^{2} c\right )}{b^{5} \left (n + 2\right )} + \frac{d^{2} \left (a + b x\right )^{n + 5}}{b^{5} \left (n + 5\right )} + \frac{2 d \left (a + b x\right )^{n + 3} \left (3 a^{2} d + b^{2} c\right )}{b^{5} \left (n + 3\right )} + \frac{\left (a + b x\right )^{n + 1} \left (a^{2} d + b^{2} c\right )^{2}}{b^{5} \left (n + 1\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((b*x+a)**n*(d*x**2+c)**2,x)

[Out]

-4*a*d**2*(a + b*x)**(n + 4)/(b**5*(n + 4)) - 4*a*d*(a + b*x)**(n + 2)*(a**2*d +
b**2*c)/(b**5*(n + 2)) + d**2*(a + b*x)**(n + 5)/(b**5*(n + 5)) + 2*d*(a + b*x)
**(n + 3)*(3*a**2*d + b**2*c)/(b**5*(n + 3)) + (a + b*x)**(n + 1)*(a**2*d + b**2
*c)**2/(b**5*(n + 1))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.160051, size = 184, normalized size = 1.31 \[ \frac{(a+b x)^{n+1} \left (24 a^4 d^2-24 a^3 b d^2 (n+1) x+4 a^2 b^2 d \left (c \left (n^2+9 n+20\right )+3 d \left (n^2+3 n+2\right ) x^2\right )-4 a b^3 d (n+1) x \left (c \left (n^2+9 n+20\right )+d \left (n^2+5 n+6\right ) x^2\right )+b^4 \left (n^2+6 n+8\right ) \left (c^2 \left (n^2+8 n+15\right )+2 c d \left (n^2+6 n+5\right ) x^2+d^2 \left (n^2+4 n+3\right ) x^4\right )\right )}{b^5 (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2,x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + n)*(24*a^4*d^2 - 24*a^3*b*d^2*(1 + n)*x + 4*a^2*b^2*d*(c*(20 + 9
*n + n^2) + 3*d*(2 + 3*n + n^2)*x^2) - 4*a*b^3*d*(1 + n)*x*(c*(20 + 9*n + n^2) +
d*(6 + 5*n + n^2)*x^2) + b^4*(8 + 6*n + n^2)*(c^2*(15 + 8*n + n^2) + 2*c*d*(5 +
6*n + n^2)*x^2 + d^2*(3 + 4*n + n^2)*x^4)))/(b^5*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n
)*(5 + n))

_______________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.013, size = 420, normalized size = 3. \[{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{1+n} \left ({b}^{4}{d}^{2}{n}^{4}{x}^{4}+10\,{b}^{4}{d}^{2}{n}^{3}{x}^{4}-4\,a{b}^{3}{d}^{2}{n}^{3}{x}^{3}+2\,{b}^{4}cd{n}^{4}{x}^{2}+35\,{b}^{4}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{4}-24\,a{b}^{3}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{3}+24\,{b}^{4}cd{n}^{3}{x}^{2}+50\,{b}^{4}{d}^{2}n{x}^{4}+12\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{2}-4\,a{b}^{3}cd{n}^{3}x-44\,a{b}^{3}{d}^{2}n{x}^{3}+{b}^{4}{c}^{2}{n}^{4}+98\,{b}^{4}cd{n}^{2}{x}^{2}+24\,{d}^{2}{x}^{4}{b}^{4}+36\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}n{x}^{2}-40\,a{b}^{3}cd{n}^{2}x-24\,a{d}^{2}{x}^{3}{b}^{3}+14\,{b}^{4}{c}^{2}{n}^{3}+156\,{b}^{4}cdn{x}^{2}-24\,{a}^{3}b{d}^{2}nx+4\,{a}^{2}{b}^{2}cd{n}^{2}+24\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}{x}^{2}-116\,a{b}^{3}cdnx+71\,{b}^{4}{c}^{2}{n}^{2}+80\,{b}^{4}cd{x}^{2}-24\,{a}^{3}b{d}^{2}x+36\,{a}^{2}{b}^{2}cdn-80\,a{b}^{3}cdx+154\,{b}^{4}{c}^{2}n+24\,{a}^{4}{d}^{2}+80\,{a}^{2}{b}^{2}cd+120\,{b}^{4}{c}^{2} \right ) }{{b}^{5} \left ({n}^{5}+15\,{n}^{4}+85\,{n}^{3}+225\,{n}^{2}+274\,n+120 \right ) }} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x)

[Out]

(b*x+a)^(1+n)*(b^4*d^2*n^4*x^4+10*b^4*d^2*n^3*x^4-4*a*b^3*d^2*n^3*x^3+2*b^4*c*d*
n^4*x^2+35*b^4*d^2*n^2*x^4-24*a*b^3*d^2*n^2*x^3+24*b^4*c*d*n^3*x^2+50*b^4*d^2*n*
x^4+12*a^2*b^2*d^2*n^2*x^2-4*a*b^3*c*d*n^3*x-44*a*b^3*d^2*n*x^3+b^4*c^2*n^4+98*b
^4*c*d*n^2*x^2+24*b^4*d^2*x^4+36*a^2*b^2*d^2*n*x^2-40*a*b^3*c*d*n^2*x-24*a*b^3*d
^2*x^3+14*b^4*c^2*n^3+156*b^4*c*d*n*x^2-24*a^3*b*d^2*n*x+4*a^2*b^2*c*d*n^2+24*a^
2*b^2*d^2*x^2-116*a*b^3*c*d*n*x+71*b^4*c^2*n^2+80*b^4*c*d*x^2-24*a^3*b*d^2*x+36*
a^2*b^2*c*d*n-80*a*b^3*c*d*x+154*b^4*c^2*n+24*a^4*d^2+80*a^2*b^2*c*d+120*b^4*c^2
)/b^5/(n^5+15*n^4+85*n^3+225*n^2+274*n+120)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Exception raised: ValueError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^2 + c)^2*(b*x + a)^n,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 0.282003, size = 701, normalized size = 5.01 \[ \frac{{\left (a b^{4} c^{2} n^{4} + 14 \, a b^{4} c^{2} n^{3} + 120 \, a b^{4} c^{2} + 80 \, a^{3} b^{2} c d + 24 \, a^{5} d^{2} +{\left (b^{5} d^{2} n^{4} + 10 \, b^{5} d^{2} n^{3} + 35 \, b^{5} d^{2} n^{2} + 50 \, b^{5} d^{2} n + 24 \, b^{5} d^{2}\right )} x^{5} +{\left (a b^{4} d^{2} n^{4} + 6 \, a b^{4} d^{2} n^{3} + 11 \, a b^{4} d^{2} n^{2} + 6 \, a b^{4} d^{2} n\right )} x^{4} + 2 \,{\left (b^{5} c d n^{4} + 40 \, b^{5} c d + 2 \,{\left (6 \, b^{5} c d - a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n^{3} +{\left (49 \, b^{5} c d - 6 \, a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \,{\left (39 \, b^{5} c d - 2 \, a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n\right )} x^{3} +{\left (71 \, a b^{4} c^{2} + 4 \, a^{3} b^{2} c d\right )} n^{2} + 2 \,{\left (a b^{4} c d n^{4} + 10 \, a b^{4} c d n^{3} +{\left (29 \, a b^{4} c d + 6 \, a^{3} b^{2} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \,{\left (10 \, a b^{4} c d + 3 \, a^{3} b^{2} d^{2}\right )} n\right )} x^{2} + 2 \,{\left (77 \, a b^{4} c^{2} + 18 \, a^{3} b^{2} c d\right )} n +{\left (b^{5} c^{2} n^{4} + 120 \, b^{5} c^{2} + 2 \,{\left (7 \, b^{5} c^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} c d\right )} n^{3} +{\left (71 \, b^{5} c^{2} - 36 \, a^{2} b^{3} c d\right )} n^{2} + 2 \,{\left (77 \, b^{5} c^{2} - 40 \, a^{2} b^{3} c d - 12 \, a^{4} b d^{2}\right )} n\right )} x\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{b^{5} n^{5} + 15 \, b^{5} n^{4} + 85 \, b^{5} n^{3} + 225 \, b^{5} n^{2} + 274 \, b^{5} n + 120 \, b^{5}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^2 + c)^2*(b*x + a)^n,x, algorithm="fricas")

[Out]

(a*b^4*c^2*n^4 + 14*a*b^4*c^2*n^3 + 120*a*b^4*c^2 + 80*a^3*b^2*c*d + 24*a^5*d^2
+ (b^5*d^2*n^4 + 10*b^5*d^2*n^3 + 35*b^5*d^2*n^2 + 50*b^5*d^2*n + 24*b^5*d^2)*x^
5 + (a*b^4*d^2*n^4 + 6*a*b^4*d^2*n^3 + 11*a*b^4*d^2*n^2 + 6*a*b^4*d^2*n)*x^4 + 2
*(b^5*c*d*n^4 + 40*b^5*c*d + 2*(6*b^5*c*d - a^2*b^3*d^2)*n^3 + (49*b^5*c*d - 6*a
^2*b^3*d^2)*n^2 + 2*(39*b^5*c*d - 2*a^2*b^3*d^2)*n)*x^3 + (71*a*b^4*c^2 + 4*a^3*
b^2*c*d)*n^2 + 2*(a*b^4*c*d*n^4 + 10*a*b^4*c*d*n^3 + (29*a*b^4*c*d + 6*a^3*b^2*d
^2)*n^2 + 2*(10*a*b^4*c*d + 3*a^3*b^2*d^2)*n)*x^2 + 2*(77*a*b^4*c^2 + 18*a^3*b^2
*c*d)*n + (b^5*c^2*n^4 + 120*b^5*c^2 + 2*(7*b^5*c^2 - 2*a^2*b^3*c*d)*n^3 + (71*b
^5*c^2 - 36*a^2*b^3*c*d)*n^2 + 2*(77*b^5*c^2 - 40*a^2*b^3*c*d - 12*a^4*b*d^2)*n)
*x)*(b*x + a)^n/(b^5*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 1
20*b^5)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 15.7622, size = 5044, normalized size = 36.03 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x+a)**n*(d*x**2+c)**2,x)

[Out]

Piecewise((a**n*(c**2*x + 2*c*d*x**3/3 + d**2*x**5/5), Eq(b, 0)), (12*a**4*d**2*
log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3
+ 12*b**9*x**4) + 25*a**4*d**2/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x*
*2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 48*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(12*a**4*b**
5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 88*a**
3*b*d**2*x/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 +
12*b**9*x**4) - 2*a**2*b**2*c*d/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x
**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 72*a**2*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(12*a
**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) +
108*a**2*b**2*d**2*x**2/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48
*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) - 8*a*b**3*c*d*x/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 7
2*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 48*a*b**3*d**2*x**3*log(a/b
+ x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b*
*9*x**4) + 48*a*b**3*d**2*x**3/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**
2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) - 3*b**4*c**2/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x
+ 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) - 12*b**4*c*d*x**2/(12*a**4
*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 12
*b**4*d**2*x**4*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2
+ 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4), Eq(n, -5)), (-12*a**5*d**2*log(a/b + x)/(3*a**
4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 4*a**5*d**2/(3*a**4
*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 36*a**4*b*d**2*x*log
(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 36*
a**3*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2
+ 3*a*b**8*x**3) + 18*a**3*b**2*d**2*x**2/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2
*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 12*a**2*b**3*d**2*x**3*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 +
9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 18*a**2*b**3*d**2*x**3/(3*a
**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - a*b**4*c**2/(3*a*
*4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 3*a*b**4*d**2*x**4
/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 2*b**5*c*d*x
**3/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3), Eq(n, -4))
, (12*a**4*d**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 6*a**4*d
**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(2*
a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 4*a**2*b**2*c*d*log(a/b + x)/(2*a**2*b**
5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 2*a**2*b**2*c*d/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b*
*7*x**2) + 12*a**2*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**
7*x**2) - 12*a**2*b**2*d**2*x**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 8*a*
b**3*c*d*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 4*a*b**3*d**2
*x**3/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - b**4*c**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b*
*6*x + 2*b**7*x**2) + 4*b**4*c*d*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2
*b**7*x**2) - 4*b**4*c*d*x**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + b**4*d*
*2*x**4/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2), Eq(n, -3)), (-12*a**4*d**2*log
(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**4*d**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**3*b
*d**2*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**2*b**2*c*d*log(a/b + x)/(3*a*
b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**2*b**2*c*d/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 6*a**2*b**2*d**2*x**
2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a*b**3*c*d*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 2
*a*b**3*d**2*x**3/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 3*b**4*c**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 6*
b**4*c*d*x**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + b**4*d**2*x**4/(3*a*b**5 + 3*b**6*x), Eq(n
, -2)), (a**4*d**2*log(a/b + x)/b**5 - a**3*d**2*x/b**4 + 2*a**2*c*d*log(a/b + x
)/b**3 + a**2*d**2*x**2/(2*b**3) - 2*a*c*d*x/b**2 - a*d**2*x**3/(3*b**2) + c**2*
log(a/b + x)/b + c*d*x**2/b + d**2*x**4/(4*b), Eq(n, -1)), (24*a**5*d**2*(a + b*
x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 12
0*b**5) - 24*a**4*b*d**2*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n*
*3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 4*a**3*b**2*c*d*n**2*(a + b*x)**n/
(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5
) + 36*a**3*b**2*c*d*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 2
25*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 80*a**3*b**2*c*d*(a + b*x)**n/(b**5*n**5
+ 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**
3*b**2*d**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 22
5*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b*
*5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) -
4*a**2*b**3*c*d*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 +
225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 36*a**2*b**3*c*d*n**2*x*(a + b*x)**n/(b
**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5)
- 80*a**2*b**3*c*d*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 2
25*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 4*a**2*b**3*d**2*n**3*x**3*(a + b*x)**n/
(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5
) - 12*a**2*b**3*d**2*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5
*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 8*a**2*b**3*d**2*n*x**3*(a + b*
x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 12
0*b**5) + a*b**4*c**2*n**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3
+ 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 14*a*b**4*c**2*n**3*(a + b*x)**n/(b*
*5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) +
71*a*b**4*c**2*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225
*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 154*a*b**4*c**2*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5
+ 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 120*a*b
**4*c**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 2*a*b**4*c*d*n**4*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b*
*5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 20*a*b**4*c*d*
n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) + 58*a*b**4*c*d*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*
b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 40*a*b**4*c*
d*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*d**2*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**2*n
**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 11*a*b**4*d**2*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*
b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**
2*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*c**2*n**4*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**
4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 14*b**5*c**2*n**3*x*
(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5
*n + 120*b**5) + 71*b**5*c**2*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85
*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 154*b**5*c**2*n*x*(a + b*x
)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120
*b**5) + 120*b**5*c**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 +
225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 2*b**5*c*d*n**4*x**3*(a + b*x)**n/(b**
5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) +
24*b**5*c*d*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 22
5*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 98*b**5*c*d*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*
n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 15
6*b**5*c*d*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b*
*5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 80*b**5*c*d*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15
*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*d**2*n
**4*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 10*b**5*d**2*n**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b*
*5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 35*b**5*d**2*n
**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 50*b**5*d**2*n*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*
n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 24*b**5*d**2*x**5
*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**
5*n + 120*b**5), True))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [A]  time = 0.301347, size = 1260, normalized size = 9. \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^2 + c)^2*(b*x + a)^n,x, algorithm="giac")

[Out]

(b^5*d^2*n^4*x^5*e^(n*ln(b*x + a)) + a*b^4*d^2*n^4*x^4*e^(n*ln(b*x + a)) + 10*b^
5*d^2*n^3*x^5*e^(n*ln(b*x + a)) + 2*b^5*c*d*n^4*x^3*e^(n*ln(b*x + a)) + 6*a*b^4*
d^2*n^3*x^4*e^(n*ln(b*x + a)) + 35*b^5*d^2*n^2*x^5*e^(n*ln(b*x + a)) + 2*a*b^4*c
*d*n^4*x^2*e^(n*ln(b*x + a)) + 24*b^5*c*d*n^3*x^3*e^(n*ln(b*x + a)) - 4*a^2*b^3*
d^2*n^3*x^3*e^(n*ln(b*x + a)) + 11*a*b^4*d^2*n^2*x^4*e^(n*ln(b*x + a)) + 50*b^5*
d^2*n*x^5*e^(n*ln(b*x + a)) + b^5*c^2*n^4*x*e^(n*ln(b*x + a)) + 20*a*b^4*c*d*n^3
*x^2*e^(n*ln(b*x + a)) + 98*b^5*c*d*n^2*x^3*e^(n*ln(b*x + a)) - 12*a^2*b^3*d^2*n
^2*x^3*e^(n*ln(b*x + a)) + 6*a*b^4*d^2*n*x^4*e^(n*ln(b*x + a)) + 24*b^5*d^2*x^5*
e^(n*ln(b*x + a)) + a*b^4*c^2*n^4*e^(n*ln(b*x + a)) + 14*b^5*c^2*n^3*x*e^(n*ln(b
*x + a)) - 4*a^2*b^3*c*d*n^3*x*e^(n*ln(b*x + a)) + 58*a*b^4*c*d*n^2*x^2*e^(n*ln(
b*x + a)) + 12*a^3*b^2*d^2*n^2*x^2*e^(n*ln(b*x + a)) + 156*b^5*c*d*n*x^3*e^(n*ln
(b*x + a)) - 8*a^2*b^3*d^2*n*x^3*e^(n*ln(b*x + a)) + 14*a*b^4*c^2*n^3*e^(n*ln(b*
x + a)) + 71*b^5*c^2*n^2*x*e^(n*ln(b*x + a)) - 36*a^2*b^3*c*d*n^2*x*e^(n*ln(b*x
+ a)) + 40*a*b^4*c*d*n*x^2*e^(n*ln(b*x + a)) + 12*a^3*b^2*d^2*n*x^2*e^(n*ln(b*x
+ a)) + 80*b^5*c*d*x^3*e^(n*ln(b*x + a)) + 71*a*b^4*c^2*n^2*e^(n*ln(b*x + a)) +
4*a^3*b^2*c*d*n^2*e^(n*ln(b*x + a)) + 154*b^5*c^2*n*x*e^(n*ln(b*x + a)) - 80*a^2
*b^3*c*d*n*x*e^(n*ln(b*x + a)) - 24*a^4*b*d^2*n*x*e^(n*ln(b*x + a)) + 154*a*b^4*
c^2*n*e^(n*ln(b*x + a)) + 36*a^3*b^2*c*d*n*e^(n*ln(b*x + a)) + 120*b^5*c^2*x*e^(
n*ln(b*x + a)) + 120*a*b^4*c^2*e^(n*ln(b*x + a)) + 80*a^3*b^2*c*d*e^(n*ln(b*x +
a)) + 24*a^5*d^2*e^(n*ln(b*x + a)))/(b^5*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5
*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)